2l] DELLE VARIABILI COMPLESSE SOPRA UNA SUPERFICIE QUALUNQUE. 351
dell'area O'. (Donde si conclude eziandio che, nelle condizioni ammesse circa alla disposizione delle curve coordinate, si ha in ogni caso, per un contorno chiuso, E=2 TU).
La proprietà espressa dalla equazione precedente è stata indicata, sotto forma un po' diversa, dal sig. BONNET *).
Se il contorno è un poligono geodetico, sono nulle, nella somma T, tir relative ai lati successivi di esso, e non rimangono che quelle dovute alle *• d'accordo che abbiam detto doversi sostituire agli angoli del poligono, e mane che la somma delle deviazioni di ciascun lato sul precedente. Chiain^uu que a queste deviazioni, si ha
F' = 2 TT — 21 A ,
formola che esprime un celebre teorema di GAUSS **).
Se la superficie è riferita ad un sistema di coordinate geodetiche r ed s, come si suppone nell'art. precedente, in prossimità del punto O, dal quale divergono le geodetiche, l'espressione dell'elemento lineare si può scambiare colla seguente
per la quale il modulo k del fattore d'integrazione x. può porsi uguale ad —. Neri-sulta che la funzione log k diventa, in questo caso, infinita in O come log—. Se
dunque si suppone che il punto O sia nell'interno dell'area il', bisogna sostituire la formola
r =
[dedotta dalla prima delle (30)] a quella da cui siamo partiti per istabilire la (37). Si trova così
J &« " S~ ' mentre, nelle ipotesi ammesse precedentemente, si aveva
-V5-- ds = T — 2 TU. o n
Di qui si conclude l'interessante proprietà che : l'integrale / —J?~ & s > esteso ad un
*) Journal de l'École Polytechnique, t. XXIV, cahier 41 (1865), png. 209. **) Disquisitiones generale*, etc., art. XX.